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<!DOCTYPE html>

<title>LSS-Theorie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">LSS-Theorie</span></h1>

</header>

</div>

Dieser Artikel wurde in die Qualitätssicherung der Redaktion Physik eingetragen. Wenn du dich mit dem Thema auskennst, bist du herzlich eingeladen, dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit <b>nicht</b> auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der <b>Qualitätssicherungs-Seite</b> der Physik statt. </div>

<p>Die <b>LSS-Theorie</b> (auch Lindhard-Scharff-Schiøtt-Theorie) ist eine Beschreibung der Wechselwirkung von energetischen Ionen mit (amorphen) Festkörpern von Jens Lindhard, Morten Scharff und Hans E. Schiøtt.<sup id="cite_ref-LSS1963_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-LSS1963-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Sie wird als Verbesserung der <a href="Bethe-Bloch-Formel" class="mw-redirect" title="Bethe-Bloch-Formel">Bethe-Bloch-Formel</a> für Ionen mit Energien im Kiloelektroenenvolt-Bereich angesehen und findet unter anderem Anwendung bei der Berechnung der projizierten Tiefe und anderer Merkmale der <a href="Ionenimplantation" title="Ionenimplantation">Ionenimplantation</a>. Für höhere Energien und komplexe Schichtsysteme sollte die von James F. Ziegler, Jochen P. Biersack und Uffe Littmark entwickelte Theorie (ZBL-Theorie) verwendet werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hintergrund">Hintergrund</h2></div>

<p>Die Anfänge der <a href="Ionenimplantation" title="Ionenimplantation">Ionenimplantation</a> zur Materialuntersuchung und Materialmodifizierung reichen etwa bis ins Jahr 1955 zurück. Nach ersten Theorien zur Reichweite der eindringenden Teilchen<sup id="cite_ref-Bohr1913_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bohr1913-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Bohr1915_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bohr1915-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und auch zur Strahlenschädigung von Festkörpern und sogar von Halbleitern<sup id="cite_ref-Davis1948_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Davis1948-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> wurden 1963 die theoretischen Grundlagen zur Reichweitenverteilung niederenergetischer Ionen in Festkörpern durch Lindhard, Scharf und Schiøtt<sup id="cite_ref-LSS1963_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-LSS1963-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (LSS-Theorie), aufbauend auf den Arbeiten von Bohr<sup id="cite_ref-Bohr1913_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-Bohr1913-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> gelegt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beschreibung">Beschreibung</h2></div>

<p>Diese Theorie beschreibt aber nur die Wechselwirkung der Ionen mit amorphen Festkörpern, d. h., die Gitterstruktur eines Halbleiterkristalls wird nicht berücksichtigt. Die LSS-Theorie kann auch sekundäre Effekte wie die Diffusion der implantierten Ionen und erzeugten Defekten nicht beschreiben. Die Aussagen der LSS-Theorie sind deshalb nur in erster Näherung richtig.

Bei der Ionenimplantation spielt die Reichweite der Ionen eine entscheidende Rolle.

Prinzipiell sind fünf verschiedene Abbremsmechanismen für Ionen denkbar:

</p>

<ul><li>unelastische Stöße mit gebundenen Elektronen,</li>

<li>unelastische Stöße mit Atomkernen,</li>

<li>elastische Stöße mit gebundenen Elektronen,</li>

<li>elastische Stöße mit Atomkernen,</li>

<li><a href="Tscherenkow-Strahlung" title="Tscherenkow-Strahlung">Tscherenkow-Strahlung</a>.</li></ul>

<p>Praktisch sind jedoch nur die elastischen Stöße mit Atomkernen sowie die unelastischen Stöße mit Elektronen relevant.

</p><p>Wichtige Kenngrößen zur Beschreibung der Reichweite von Ionen im Festkörper sind die mittlere projizierte Reichweite, die Reichweitestreuung, die Schiefe und die Kurtosis (in der <a href="Statistik" title="Statistik">Statistik</a> allgemeiner bekannt als erstes bis viertes <a href="Statistisches_Moment" class="mw-redirect" title="Statistisches Moment">statistisches Moment</a> der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion):

</p>

<dl><dt>Ausgangspunkt für die Herleitung</dt>

<dd>Ausgangspunkt für die Herleitung der Reichweiteschreibung ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d19388012602693a8949d9e3ac82d4a77d71b50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.134ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=1}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2635ab62e1e5dc91ebf9789bb2e8d636415df57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\geq 0}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd>

<dd>sowie die allgemeine Reichweiteverteilung:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(x)=Nf(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d815c5e3a7c8fd3aa41bf3bb61c8506bea4d867.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.485ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(x)=Nf(x)}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>N … implantierte Dosis</dd></dl></dd></dl>

<dl><dt>Mittlere projizierte Reichweite</dt>

<dd>Die projizierte Reichweite eines Ions, beschreibt den Abstand des Ions zur Oberfläche, nachdem es zum Liegen gekommen ist. Betrachtet man alle implantierten Ionen und bildet den Mittelwert der projizierten Reichweiten, so erhält man die mittlere projizierte Reichweite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{\mathrm {p} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{\mathrm {p} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/524bad2afae2e96646d93918f86cc2987bc11804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{\mathrm {p} }}" loading="lazy"></span>. Diese stimmt in der Regel nicht unbedingt mit dem Ort der maximalen Konzentration der implantierten Ionen überein. Mathematisch lässt sich die mittlere projizierte Reichweite wie folgt darstellen:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{p}=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54bffe79f2d2b2c02b87533a85617a0929601b39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.125ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle R_{p}=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<dl><dt>Reichweitestreuung</dt>

<dd>Die Reichweitestreuung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta R_{\mathrm {p} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta R_{\mathrm {p} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6673dc6fe8e04baa37d2d8c05c289b50d10024b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta R_{\mathrm {p} }}" loading="lazy"></span> beschreibt die „Breite der Verteilung“ um die mittlere projizierte Reichweite. Sie lässt sich mathematisch wie folgt beschreiben:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta R_{\mathrm {p} }={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{2}f(x)\mathrm {d} x}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c125f1352768f108c73d84ef7548c47a5a73ebf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:31.698ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta R_{\mathrm {p} }={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{2}f(x)\mathrm {d} x}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<dl><dt>Schiefe</dt>

<dd>Die mittlere projizierte Reichweite und die Reichweitestreuung sind geeignet um symmetrische Profile zu beschreiben. Da Implantationsprofile in der Regel jedoch nicht symmetrisch sind, müssen zwei weitere Größen definiert werden. Die eine ist die Schiefe, die die Asymmetrie zwischen den beiden Bereichen „links und rechts“ von der mittleren projizierten Reichweite angibt. Sie lässt sich mathematisch wie folgt angeben:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{3}f(x)\mathrm {d} x}{{\Delta \mathrm {R_{p}} }^{3}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b19fb180cb83a3285cb7337471bf39133b525a35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.432ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{3}f(x)\mathrm {d} x}{{\Delta \mathrm {R_{p}} }^{3}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<dl><dt>Kurtosis</dt>

<dd>Die zweite Größe ist die <a href="Kurtosis" class="mw-redirect" title="Kurtosis">Kurtosis</a>, die die Flachheit des Maximums der Verteilung angibt:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{4}f(x)\mathrm {d} x}{{\Delta R_{\mathrm {p} }}^{4}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8d3628ffda07a90526d798f779c61946ebf895c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.502ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \beta ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-R_{\mathrm {p} })^{4}f(x)\mathrm {d} x}{{\Delta R_{\mathrm {p} }}^{4}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ingolf Ruge, Hermann Mader: <cite style="font-style:italic">Halbleiter-Technologie</cite>. Springer, 1991, ISBN 3-540-53873-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>100–104</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.au=Ingolf+Ruge%2C+Hermann+Mader&rft.btitle=Halbleiter-Technologie&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=3540538739&rft.pages=100-104&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Frank Börner: <cite style="font-style:italic">Defektcharakterisierung in Halbleiterschichten mit Hilfe der Positronenannihilation</cite>. Halle-Wittenberg 2000 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://sundoc.bibliothek.uni-halle.de/diss-online/00/00H188/index.htm">Abstract und PDF</a> – Dissertation, Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.au=Frank+B%C3%B6rner&rft.btitle=Defektcharakterisierung+in+Halbleiterschichten+mit+Hilfe+der+Positronenannihilation&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.place=Halle-Wittenberg" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

J. Lindhard, M. Scharff, H. E. Schiøtt: <cite style="font-style:italic">Range concepts and heavy ion ranges (Notes on atomic collisions, II)</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat. Fys. Medd</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>33</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>14</span>, 1963, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1–49</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gymarkiv.sdu.dk/MFM/kdvs/mfm%2030-39/mfm-33-14.pdf">sdu.dk</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.atitle=Range+concepts+and+heavy+ion+ranges+%28Notes+on+atomic+collisions%2C+II%29&rft.au=J.+Lindhard%2C+M.+Scharff%2C+H.+E.+Schi%C3%B8tt&rft.date=1963&rft.genre=journal&rft.issue=14&rft.jtitle=Kgl.+Danske+Videnskab.+Selskab.+Mat.+Fys.+Medd&rft.pages=1-49&rft.volume=33" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Neil_W._Ashcroft" class="mw-redirect" title="Neil W. Ashcroft">Neil W. Ashcroft</a>, <a href="N._David_Mermin" title="N. David Mermin">N. David Mermin</a>: <cite style="font-style:italic">Festkörperphysik</cite>. 4., verbesserte Auflage. Oldenbourg, R, München 2012, ISBN 978-3-486-71301-5, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>435</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.au=Neil+W.+Ashcroft%2C+N.+David+Mermin&rft.btitle=Festk%C3%B6rperphysik&rft.date=2012&rft.edition=4.%2C+verbesserte+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783486713015&rft.pages=435&rft.place=M%C3%BCnchen&rft.pub=Oldenbourg%2C+R" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Rudolf Gross: <cite style="font-style:italic">Festkörperphysik</cite>. 3. Auflage. Berlin 2018, ISBN 978-3-11-055822-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>629–636</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.au=Rudolf+Gross&rft.btitle=Festk%C3%B6rperphysik&rft.date=2018&rft.edition=3.+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783110558227&rft.pages=629-636&rft.place=Berlin" style="display:none"> </span></span>

</li>

N. Bohr: <cite style="font-style:italic">The decrease in velocity of alpha rays</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Phil. Mag</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>25</span>, 1913, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.atitle=The+decrease+in+velocity+of+alpha+rays&rft.au=N.+Bohr&rft.btitle=Phil.+Mag&rft.date=1913&rft.genre=book&rft.pages=10&rft.volume=25" style="display:none"> </span></span>

</li>

N. Bohr: <cite style="font-style:italic">On the decrease of velocity of swiftly moving particles in passing through electrified matter</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Phil. Mag</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>30</span>, 1915, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>581–612</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.atitle=On+the+decrease+of+velocity+of+swiftly+moving+particles+in+passing+through+electrified+matter&rft.au=N.+Bohr&rft.btitle=Phil.+Mag&rft.date=1915&rft.genre=book&rft.pages=581-612&rft.volume=30" style="display:none"> </span></span>

</li>

R. E. Davis, W. E. Johnson, K. Lark-Horovitz, D. S. Siegel: <cite style="font-style:italic">Neutron bombarded Germanium semiconductors</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Phys. Rev</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>74</span>, 1948, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1255</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:LSS-Theorie&rft.atitle=Neutron+bombarded+Germanium+semiconductors&rft.au=R.+E.+Davis%2C+W.+E.+Johnson%2C+K.+Lark-Horovitz%2C+...&rft.btitle=Phys.+Rev&rft.date=1948&rft.genre=book&rft.pages=1255&rft.volume=74" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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